Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng – Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II
ĐỀ BÀI:
Bài 44.
Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Bài 45.
Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Gợi ý: Sử dụng định lí 2
Bài 46.
Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài 47.
Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = Δ BMN.
Bài 48.
Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.
Bài 49.
Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B (h.44). Hãy tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?
Bài 50.
Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư . Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.
Bài 51.
Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:
(1) Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt d tại hai điểm A và B.
(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C (C ≠ P)
(3) Vẽ đường thẳng PC.
Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.
Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)
Xem thêm: Tính chất ba đường phân giác của tam giác – tại đây.
LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:
Bài 44.
M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MB = MA (tính chất của điểm nằm trên đường trung trực). Vậy MB = 5cm.
Bài 45.
Hướng dẫn:
Chứng minh P và Q cách đều hai đầu đoạn thẳng MN.
Giải:
P, Q là giao điểm của hai cung tròn tâm M, N có cùng bán kính nên:
PM = PN (= bán kính cung tròn).
QM = QN (= bán kính cung tròn).
Suy ra P và Q cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Vậy PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Bài 46.
Hướng dẫn:
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác cân.
=> A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC.
Giải:
∆ABC cân ở A => AB — AC => A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (1).
∆BDC cân ở D => DB = DC => D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (2).
∆EBC cân ở E => EB = EC => E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng (cùng nằm trên đường trung trực của cạnh BC).
Bài 47.
M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB => MA = MB.
N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB => NA = NB,
∆AMN và ∆BMN có:
MA = MB; NA = NB MN là cạnh chung
Nên ∆AMN = ∆BMN (c.c.c).
Bài 48.
L đối xứng với M qua xy
=> xy là đường trung trực của đoạn thẳng ML.
I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng ML.
=> IM = IL.
Do đó: IM + IN = IL + IN ≥ LN (theo bất đẳng thức tam giác).
Vậy IM + IN > LN.
Bài 49.
Hướng dẫn:
Vận dụng bài 48 (SGK tr.77):
Lấy E là điểm đối xứng’ với A qua a.
C là một điểm nằm trên a.
=> CA + CB > BE
=> CA + CB ngắn nhất khi c là giao điểm của BE và a.
Giải:
Lấy E là điểm đối xứng với A qua a
=> a là đường trung trực của AE.
Theo tính chất đường trung trực, ta có: CA = CE.
Do đó CA + CB = CE + CB ≥ BE (theo bất đẳng thức tam giác).
Dấu “=” xảy ra khi c nằm trên BE.
Vậy (CA + CB) ngắn nhất khi C là giao điểm của a và BE.
Bài 50.
Hướng dẫn:
Trạm y tế cách đều hai điểm dân cư nên thuộc đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm dân cư.
Giải:
Trạm y tế C cách đều hai điểm dân cư nên thuộc đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm dân cư A và B.
Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường quốc lộ d.
Thật vậy:
C thuộc đường trung trực của AB
nên CA = CB (tính chất đường trung trực).
Bài 51.
*Chứng minh PC ⊥ d
A và B cùng thuộc đường tròn tâm P
=> PA = PB.
=> P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. (1)
C thuộc hai đường tròn tâm A và B có cùng bán kính
=> CA = CB.
=> C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra PC là đường trung trực của đoạn thẳng AB
=> PC ⊥ AB.
Tức là PC ⊥ d.
*Một cách dựng khác:
Lấy điểm A bất kì thuộc d, vẽ đường tròn tâm A bán kính AP.
Lấy điểm B bất kì thuộc d, vẽ đường tròn tâm B bán kính BP.
Hai đường tròn cắt nhau ở điểm thứ hai c.
Khi đó đường thẳng PC ⊥ d
Thật vậy:
P và C cùng thuộc đường tròn tâm A
=> AP = AC
=> A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PC. (1)
P và C cùng thuộc đường tròn tâm B
=> BP = BC
=> B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra PC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy PC ⊥ AB hay PC ⊥ d.
Comments mới nhất