Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II

Đang tải...

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II

ĐỀ BÀI:

Bài 23.

Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?

Bài 24.

Cho hình dưới đây. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG

b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS

Bài 25.

Biết rằng: Trong một tam giác vuông. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 26.

Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Bài 27.

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Bài 28.

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Bài 29.

Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: GA = GB = GC

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.

Bài 30.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Xem thêm: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác >>Tại đây.

LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

Bài 23.

Hướng dẫn:

Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giải:

Khẳng định đúng:

GH/DH = 1/3 vì GD/HD = 2/3 ( vị trí của trọng tâm)

Bài 24.

Hướng dẫn:

G là trọng tâm của tam giác MNP

Giải:

a) MG = 2/3 MR;

GR = 1/3 MR;

GK = 1/2 MG .

b) NS = 3/2 NG;

NS = 3GS;

NG = 2GS.

Bài 25.

Gọi M là trung điểm của BC.

Áp  dụng định lí pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

Do đó AM = 1/2  BC = 5/2 (cm)

Theo vị trí trọng tâm, ta có:

AG = 2/3 AM  = 2/3 . 5/2 = 5/3  (cm).

Bài 26.

Hướng dẫn:

Xét ∆ABC cân tại A có các đường trung tuyến BD và CE.

∆ABD = ∆ACE (c.g.c) => BD = CE.

Xét ∆ABG cân tại A có các đường trung tuyến BD và CE.

Ta có EA = EB = AB/2  và DA = DC  = AC/2.

Do ∆ABC cân tại A có AB = AC nên EA = EB = DA = DC

∆ABD và ∆ACẸ có:

AE = AD;

AB = AC

 là góc chung.

Do đó ∆ABĐ = ∆ ACE (c.g.c) Suy ra BD = CE.

Bài 27.

Hướng dẫn:

Xét ∆ABC có các đường trung tuyến BD.

CE bằng nhau và cắt nhau tại G.

∆BGE = ∆CGD (c.g.c)

=> BE = CD => AB = AG => ∆ ABC cân.

Giải:

Xét ∆ABC có trọng tâm G và các đường trung tuyến BD, CE bằng nhau

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có:

GB = 2/3 BD, GC = 2/3 CE

Mà BD = CE nên GB = GC => GD = GE

∆BGE và ∆CGD có:

GB = GC; GE = GD

góc BGE = góc CGD (hai góc đối đỉnh)

Nên ∆BGE = ∆CGD (c.g.c) =>  BE = CD.

=> 1/2 AB = 1/2 AC (BD, GE là các đường trung tuyến của ∆ABC)

=>AB = AC=> ∆ABC cân ở A.

Bài 28.

a) ∆DEI và ∆DFI có:

DE = DF (hai cạnh bên của tam giác cân DEF).

IE = IF (DI là đường trung tuyến của tam giác DEF).

DI là cạnh chung.

Nên ∆DEI = ∆DFI (c.c.c).

b) ∆DEI = ∆DFI suy ra góc DIE = góc DIF

Lại có góc DIK + góc DIF = 180°

Nên góc DIE = góc DIF = 90°

Vậy góc DIE và góc DIF là các góc vuông.

c)  DI là đường trung tuyến của ∆DEF

=> IE = 1/2 EF = 10/2  = 5(cm)

DIE = 90° => ∆DIE vuông tại I.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông DIE, ta có:

Bài 29.

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí ở bài 26 ( SGK trang 67):

Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Giải:

∆ ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh bằng nhau (theo định lí ở bài 26, SGK tr. 67)

=> AM = BN = CP               (1)

Theo tính chất ba đường trung tuyến, ta có:

GA = 2/3 AM;

GB =2/3 BN;

 

GC =2/3 CP.                              (2)

Từ (1) và (2) suy ra GA = GB = GC.

Bài 30.

Hướng dẫn:

Gọi AD, BE, CF là các đường trung tuyến của ∆ABC

=> BG   = 2/3  BE,            GG’ = 2/3 AD,            BG’    = 2/3   CF.

Gọi GM, G’N là các đường trung tuyến của ∆BGG’

=> BD   = 1/2  BC,             GM = 1/2 AB,             G’N    = 1/2  AC.

Giải:

a) Gọi AD, BE, CF là các đường trung tuyến của ∆ABC.

Ta có:

BG= 2/3 BE (G là trọng tâm của ∆ABC)

AG = 2/3 AD (G là trọng tâm của ∆AABC).

Lại có GG’ = AG (G là trung điểm của AG’) nên GG‘ = 2/3 AD

G là trọng tâm của ∆ABC => AG = 2GD => GG’ = 2GD => GD = DG’

∆BDG’ và ∆CDG có:

DG = DG’

góc BDG’ = góc CDG (hai góc đối đỉnh)

DB = DC (AD là đường trung tuyến của∆ABC)

Nên ∆BDG’ = ∆CDG (c.g.c)

Suy ra BG’ = CG (hai cạnh tương ứng của hai tam giác, bằng nhau)

Lại có CG = 2/3 CF (tính chất trọng tâm)

Do đó BG’ = 2/3 CF

Vậy các cạnh của ∆BGG’ bằng 2/3 đường trung tuyến của ∆ABC.

b)

DG = DG  => BD là đường trung tuyến của ∆BGG’.

Ta có BD = 1/2 BC (AD là đường trung 2 tuyến của ∆ABC)

Gọi GM và G’N là các đường trung tuyến của ∆BGG’.

Ta có MB = MG’, GA = GG’

Nên ,MG là đường trung bình của ∆ABG’

Suy ra MG = 1/2 AB

G’N là đường trung tuyến của ∆BGG’ => NG = 1/2 BG

Lại có GE = 1/2 BG (tính chất trọng tâm)

Nên NG = GE.

∆NGG’ và ∆EAG có:

NG = GE ‘

GA = GG’ (tính chất trung điểm)

góc NGG‘ = góc EGA (hai góc đối đỉnh)

Nên ∆NGG’ = ∆EGA (c.g.c)

Suy ra G’N = AE (hai cạnh tương ứng)

Mà AE = 1/2 AC (BE là đường trung tuyến của ∆ABC)

=> GN= 1/2 AC.

Vậy các đường trung tuyến của ∆BGG’ bằng 1/2 cạnh của ∆ABC.

Đang tải...

Bài mới

loading...

Bình luận