Phương trình đường tròn
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình đường tròn (h.3.3)
- Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là:
- Nếu thì phương trình là phương trình của đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R =
- Nếu thì chỉ có một điểm I(a ; b) thoả mãn phương trình
- Nếu thì không có điểm M(x ; y) nào thoả mãn phương trình
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến tại điểm của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình :
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm vồ bán kính đường tròn
1. Phương pháp
Cách 1: Đưa phương trình về dạng :
(1)
- Xét dấu biểu thức
- Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = .
Cách 2 : – Đưa phương trình về dạng
(2)
- Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R =
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :
GIÁI
a) (1) có dạng với a = 3,b = -4, c = 100.
Ta có .
Vậy (1) không phải là phương trình của đường tròn.
b) (2) có dạng , với a = – 2, b = 3, c = -12.
Ta có .
Vậy (2) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (-2 ; 3), bán kính bằng = 5.
c) Ta có : (3)
⇔ ⇔
⇔
Vậy (3) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (1 ; -2), bán kính bằng
Ví dụ 2. Cho phương trình $latex x^2 + y^2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn ?
b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.
GIẢI
a) (1) có dạng với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.
(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi , mà
Vấn đề 2
Lập phương trình của đường tròn
1. Phương pháp
Cách 1 :
- Tìm toạ độ tâm I(a ; b) của đường tròn (℘);
- Tìm bán kính R của(℘);
- Viết phương trình (℘) theo dạng
Chú ý:
- (℘) đi qua A, B ⇔ .
- (℘) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng Δ tại A ⇔ IA = d(I, Δ).
- (℘) tiếp xúc với hai đường thẳng và ⇔ d (I, ) = d (I, ) = R
- Gọi phương trình của đường tròn (℘) là (2)
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c.
- Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn(℘).
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình của đường tròn (℘) trong các trường hợp sau :
a) (℘) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;
b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5).
GIẢI
Vậy phương trình của (℘) là: = 4/5
b) Tâm I của (℘) là trung điểm của AB
Do đó : IA= .
Vậy phương trình của (℘) là :
Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3).
GIẢI
Xét đường tròn (℘) có dạng .
(℘) đi qụa A, B, c khi và chỉ khi
Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :
Vấn đề 3
Lập phương trình tiếp tuyến, của đường tròn
1. Phương pháp
Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn (℘).
- Tìm toạ độ tâm I(a ; b) của (℘).
- Phương trình tiếp tuyến với (℘) tại có dạng :
Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến Δ với (℘) khi chưa biết tiếp điểm :
Dùng điều kiện tiếp xúc để xác đinh Δ:
Δ tiếp xúc với đường tròn (℘) tâm I, bán kính R ⇔ d(I, A) = R.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:
(℘)
tại điểm thuộc đường tròn (℘).
GIẢI
(℘) có tâm là điểm (1; -2). Vậy phương trình tiếp tuyến với (℘) tại (4 ; 2) có dạng :
⇔ (4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 0 ⇔ 3x + 4y – 20 = 0
Ví dụ 2. Lập phương trình tiếp tuyến, với đường tròn
(℘):
Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(3 ; – 2).
GIẢI
Phương trình của đường thẳng Δđi qua A(3; – 2) có dạng
y + 2 = k(x – 3) ⇔ kx – y – 2 – 3k = 0 $
Vậy cỏ hai tiếp tuyến vái (&) kẻ từ A là :
: 2x – y – 8 = 0 ;
: X + 2y + 1 = 0.
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A với đường tròn
(℘):
biết rằng Δ song song với đường thẳng d :3x – y + 2006 = 0.
GIẢI
(℘)có tâm 1(2 ; – 3) và bán kính R =
Phương trình của đường thẳng Δ song song với d có dạng :
Δ: 3x – y + c = 0.
Δ tiếp xúc với (℘) khi và chỉ khi
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
3.15. Trong mặt phẳng Oxy, hãy lập phương trình của đường tròn ( ℘) có tâm là điểm (2 ; 3) và thoả mãn điều kiện sau :
a) (℘) có bán kính là 5 ;
b) (℘) đi qua gốc toạ độ ;
c) (℘) tiếp xúc với trục Ox ;
d) (℘) tiếp xúc với trục Oy ;
e (℘) tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x + 3y – 12 = 0.
3.16. Cho ba điểm A( 1 ; 4), B(- 7 ; 4), C(2; -5).
a) Lập phương trình đường tròn (℘) ngoại tiếp tam giác ABC ;
b) Tìm tâm và bán kính của (℘).
3.17. Cho đường tròn (℘) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng Δ : 3x – y + 10 = 0.
a) Tìm toạ độ tâm của (℘);
b) Tính bán kính R của (℘);
c) Viết phương trình của (℘).
3.18. Cho ba đường thẳng
: 3x + 4ỵ – 1 = 0 ;
: 4x + 3y – 8 = 0 ;
d : 2x + y – 1 = 0.
a) Lập phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi và .
b) Xác định toạ độ tâm I của đường tròn (℘) biết rằng I nằm trên d và (℘) tiếp xúc với và
c) Viết phương trình của (℘).
3.19. Lập phương trình của đường tròn (℘) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + y – 3 = 0.
3.20. Lập phương trình của đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :
a) A có toạ độ (-1; 1), B có toạ độ (5 ; 3);
b) A có toạ độ (-1; – 2), B có toạ độ (2 ; 1).
3.21. Lập phương trình của đường tròn () tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm M(4 ; 2).
3.22. Cho đường tròn (℘): và đường thẳng d: 3x + 4y – 3 = 0.
a) Tìm toạ độ giao điểm của (℘) và
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (℘) tại các giao điểm đó.
c) Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
3.23 Cho đường tròn (℘): và điểm A( 1 ; 3).
a) Chứng tỏ rằng điểm Anằm ngoài đường tròn (℘).
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (℘) xuất phát từ điểm.
3.24. Lập phương trình tiếp tuyến A của đường, tròn (℘) : biết rằng Δ vuông góc với đường thẳng d: x – y + 4 = 0.
3.25. Cho đường tròn (℘): và điểm M(2 ; -1).
a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến và với (℘). Hãy viết phương trình của và .
b) Gọi và lần lượt là hai tiếp điểm của và với ), hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua và .
3.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (℘) có phương trình biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc toạ độ O.
3.27. Cho hai đường tròn ():
và () :.
a) Tìm tâm và bán kính của và ()
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( và ()
Comments mới nhất