Phương trình đường thẳng – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Đang tải...

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình tham số

Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm $M_o(x_o; y_o)$ và có vectơ chỉ phương

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm $M_o(x_o; y_o)$ và có hệ số góc k là: $y - y_o = k(x - x_o)$ .
Nếu Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (u_1; u_2)$ với $u_1$ ≠ 0 thì hệ số góc của Δ là

Nếu Δ có hệ số góc là k thì Δ có vectơ chỉ phương là: $\vec{u}$ = (1; k).

2. Phương trình tổng quát

Phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm $M_o(x_o; y_o)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (a; b) là $a(x - x_o) + b(y - y_o) = 0 (a^2 + b^2\neq 0)$
Phương trình ax + by + c = 0 với $a^2 + b^2 \neq 0$ gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận $\vec{n}$ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến.
Đường Δ cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a; 0) và B(0; b) có phương trình theo đoạn chắn là

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\triangle}_1$ và ${\triangle}_2$ ta xét số nghiệm của hệ phương trình

Hệ (I) có một nghiệm: ${\triangle}_1$ cắt ${\triangle}_2$
Hệ (I) vô nghiệm: ${\triangle}_1$ // ${\triangle}_2$ .
Hệ (I) có vô số nghiệm: ${\triangle}_1$ ≡ ${\triangle}_2$ .

Chú ý: Nếu $a_2b_2c_2 \neq 0$ thì:

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng ${\triangle}_1$ và ${\triangle}_2$ có phương trình cho ở 3 mục 3, có vectơ pháp tuyển $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ được tính bởi công thức:

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm $M_o(x_o; y_o)$ đến đường thẳng Δ có phương trình:

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

VẤN ĐỀ 1

Viết phương trình tham số của đường thẳng

1. Phương pháp

Để viết phương trình tham số của đường thẳng Δ ta thực hiện của bước:

– Tìm vectơ chỉ phương $\vec{u} = (u_1; u_2)$ của đường thẳng Δ;

– Tìm một điểm $M_o(x_o; y_o)$ thuộc Δ;

– Phương trình tham số của Δ là:

Chú ý

– Nếu Δ có hệ số góc k thì Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; k)$ .

– Nếu Δ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$ thì Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-b; a)$ hoặc $\vec{u} = (b; -a)$ .

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 4)$ .

b) Δ đi qua điểm M(5; -2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; -3)$ .

GIẢI

a) Phương trình tham số của Δ là:

b) Δ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; -3)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 4)$ .

Phương trình tham số của Δ là:

Vấn đề 2

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

1. Phương pháp

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng A ta thực hiện các bước :

Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (a ; b) của Δ ;
Tìm một điểm $M_o(x_o; y_o)$ thuộc Δ ;
Viết phương trình Δ theo công thức : $a(x - x_o) + b(y - y_o) = 0$ ;
Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0

Chú ý

Nếu đường thẳng Δ cùng phương với đường thẳng d : ax + by + c = 0 thì Δ có phương trình tổng quát: ax + by + c’ = 0.
Nếu đường thẳng A vuông góc với đường thẳng d : ax + by + c = 0 thì Δ có phương trình tổng quát:-bx + ay + c” = 0.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

a) d đi qua điểm M(3 ; 4) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (1 ; 2);

b) d đi qua điểm M{3 ; -2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (4 ; 3).

GIẢI

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng

1.(x – 3) + 2.(y – 4) = 0 ⇔ x + 2y – 11 = 0

b) Đường thẳng d, có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (4 ; 3) nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (3 ; -4).

Vậy phương trình tổng quát của d có dạng :

3.(x – 3) – 4.(y + 2) = 0 hay 3x – 4y – 17 = 0

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, biết A(1 ; 4), B(3 ; -1), C(6 ; 2). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác.

GIẢI

Phương trình tổng quát của đường thẳng chứa AH là:

1.(x – 1) + 1.(y – 4) = 0

⇔ x + y – 5 = 0

Ta tính được toạ độ trung điểm M của BC như sau :

Phương trình đường thẳng

Chú ý. Tam giác ABC có đường cao AH trùng với trung tuyến AM nên tam giác ABC cân tại A.

Vấn đề 3

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1. Phương pháp

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương trình đường thẳng

ta xét số nghiệm của hệ phương trình sau:

Phương trình đường thẳng

Cụ thể :

Hệ (*) có nghiệm duy nhất : ${\triangle}_1$ cắt ${\triangle}_2$

Hệ (*) vô nghiệm : ${\triangle}_1$ // ${\triangle}_2$ .

Hệ (*) có vô số nghiệm : ${\triangle}_1$ ≡ ${\triangle}_2$ .

Góc giữa hai đường thẳng ${\triangle}_1$ và ${\triangle}_2$ được tính bởi công thức :

Phương trình đường thẳng

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :

Phương trình đường thẳng

GIẢI

Phương trình đường thẳng

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng $d_1: x - 2y + 5 = 0$ và $d_2: 3x - y = 0$ .

a) Tìm giao điểm của $d_1$ và $d_2$ ;

b) Tính góc giữa $d_1$ và $d_2$ .

GIẢI

a) Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình đường thẳng

Vậy $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm (1; 3).

Phương trình đường thẳng

Vấn đề 4

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Phương pháp

Để tính khoảng cách từ điểm $latex M_o(x_o; y_o) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 ta dùng công thức

Phương trình đường thẳng

Nếu đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 chia mặt Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là Δ, ta luôn có:
Một nửa phẳng chứa các điểm $M_1(x_1; y_1)$ thỏa mãn

Δ( $M_1) = ax_1 + by_1 + c$ > 0;

Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm $M_2(x_2; y_2)$ thỏa mãn

Δ( $M_2) = ax_2 + by_2 + c$ < 0.

Cho hai đường thẳng cắt nhau ${\triangle}_1$ , ${\triangle}_2$ có phương trình:

Gọi d và d’ là hai đường thẳng chứa đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ${\triangle}_1$ và ${\triangle}_2$ .

Ta có : M(x, y) ∈ d ∪ d’

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc họp bởi ${\triangle}_1$ và ${\triangle}_2$ là :

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(3; 5) và Δ: 4x +3y + 1 = 0;

b) B(1; 2) và Δ’: 3x – 4y + 1 = 0.

GIẢI

Phương trình đường thẳng

Ví dụ 2. Cho đường thẳng Δ : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2 ;0).

a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường

thẳng Δ.

b) Tìm điểm O’ đối xứng của O qua A.

c) Tìm điểm M trên Δ sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất.

GIẢI

a) Ta có Δ(A) = 2 – 0 + 2 = 4 > 0

Δ(O) = 0 – 0 + 2 = 2 > 0.

Vậy A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng A.

b) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với Δ(A) tại H. Phương trình

Vì H ∈ d nên toạ độ của H có dạng ( $x_H; -x_H$ ).

Mặt khác : H ∈ Δ ⇒ $x_H - (-x_H) + 2 = 0$ ⇒ $x_H = -1$ .

Vậy H có toạ độ là (-1 ; 1).

Vì H là trung điểm của OO’nên

$x_{o'} = 2x_H = -1$

$y_{o'} = 2y_H = 2$ .

Vậy O’ có toạ độ là (- 2 ; 2).

c) Ta có OM + MA = O’M + MA

Độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất ⇔ O’, M, A thẳng hàng

⇔ O’Acắt A tại M.

Phương trình đường thẳng O’Alà : x + 2y – 2 = 0.

Toạ độ của M(x ; y) là nghiệm của hệ phương trình

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d, trong mỗi trường hợp sau :

a) d đi qua điểm A(- 5 ; – 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (4 ; – 3);

b) d đi qua hai điểm A ( $\sqrt{3}$ ; 1) và B(2 + $\sqrt{3}$ ;4).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.2. Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

a) Tìm điểm M nằm trên A và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.

b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng A với đường thẳng x + y + 1 = 0.

c) Tìm điểm M trên Δ sao cho AM ngắn nhất.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.3. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường họp sau :

a) Δ đi qua điểm M( 1 ; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (3 ; – 2) ;

b) Δ đi qua điểm A(2 ; – 1) và có hệ số góc k = – 1/2 ;

c) Δ đi qua hai điểm A(2; 0) và 5(0; – 3).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.4. Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(- 1 ; 0), N(4 ; 1), P(2 ; 4).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.5. Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.6. Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB : x – 3y + 11 = 0, đường cao AH : 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH : 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.7. Cho tam giác ABC có A(- 2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.8. Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc :

${\triangle}_1$ : mx + y + q = 0 và ${\triangle}_2$ : x – y + m = 0?

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.9. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây :

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.10. Tìm góc giữa hai đường thẳng :

$d_1$ : x + 2y + 4 = 0 và $d_2$ : 2x – y + 6 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.11. Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm 7(1 ; 5) và tiếp xúc vói đường thẳng Δ : 4x – 3ỵ + 1 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.12. Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng

${\triangle}_1$ : 2x + 4y + 7 = 0 và ${\triangle}_2$ : x – 2y – 3 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.13. Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng :

${\triangle}_1$ : 5x + 3y – 3 = 0 và ${\triangle}_2$ : 5x + 3y + 7 = 0,

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.14. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5 ; 4).

⇒ Xem đáp án tại đây.

Phương trình đường thẳng – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình tham số

2. Phương trình tổng quát

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

4. Góc giữa hai đường thẳng

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

VẤN ĐỀ 1

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Vấn đề 2

1. Phương pháp

Chú ý

2. Các ví dụ

Vấn đề 3

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Vấn đề 4

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Related

Bình luận Cancel reply

Tìm kiếm

Bài mới nhất

Comments mới nhất

Phương trình đường thẳng – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Phương trình đường thẳng toán lớp 10

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình tham số

2. Phương trình tổng quát

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

4. Góc giữa hai đường thẳng

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

VẤN ĐỀ 1

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Vấn đề 2

1. Phương pháp

Chú ý

2. Các ví dụ

Vấn đề 3

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Vấn đề 4

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Share

Related

Bài mới

Bài tập Đại số 9: Liên hệ giữa phép nhân chia và khai phương

Bài tập đại số 7: Nhân chia số hữu tỉ

Bài tập Toán 6: Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con

Bình luận Cancel reply

Tìm kiếm

Bài mới nhất

Comments mới nhất