Phương trình đường thẳng toán lớp 10
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình tham số
- Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
- Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm và có hệ số góc k là: .
- Nếu Δ có vectơ chỉ phương với ≠ 0 thì hệ số góc của Δ là
Nếu Δ có hệ số góc là k thì Δ có vectơ chỉ phương là: = (1; k).
2. Phương trình tổng quát
- Phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến = (a; b) là
- Phương trình ax + by + c = 0 với gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận = (a; b) làm vectơ pháp tuyến.
- Đường Δ cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a; 0) và B(0; b) có phương trình theo đoạn chắn là
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và ta xét số nghiệm của hệ phương trình
- Hệ (I) có một nghiệm: cắt
- Hệ (I) vô nghiệm: // .
- Hệ (I) có vô số nghiệm: ≡ .
Chú ý: Nếu thì:
4. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng và có phương trình cho ở 3 mục 3, có vectơ pháp tuyển và được tính bởi công thức:
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Δ có phương trình:
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
VẤN ĐỀ 1
Viết phương trình tham số của đường thẳng
1. Phương pháp
Để viết phương trình tham số của đường thẳng Δ ta thực hiện của bước:
– Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ;
– Tìm một điểm thuộc Δ;
– Phương trình tham số của Δ là:
Chú ý
– Nếu Δ có hệ số góc k thì Δ có vectơ chỉ phương .
– Nếu Δ có vectơ pháp tuyến thì Δ có vectơ chỉ phương hoặc .
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:
a) Δ đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương .
b) Δ đi qua điểm M(5; -2) và có vectơ pháp tuyến .
GIẢI
a) Phương trình tham số của Δ là:
b) Δ có vectơ pháp tuyến nên có vectơ chỉ phương .
Phương trình tham số của Δ là:
Vấn đề 2
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
1. Phương pháp
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng A ta thực hiện các bước :
- Tìm một vectơ pháp tuyến = (a ; b) của Δ ;
- Tìm một điểm thuộc Δ ;
- Viết phương trình Δ theo công thức : ;
- Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0
Chú ý
- Nếu đường thẳng Δ cùng phương với đường thẳng d : ax + by + c = 0 thì Δ có phương trình tổng quát: ax + by + c’ = 0.
- Nếu đường thẳng A vuông góc với đường thẳng d : ax + by + c = 0 thì Δ có phương trình tổng quát:-bx + ay + c” = 0.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :
a) d đi qua điểm M(3 ; 4) và có vectơ pháp tuyến = (1 ; 2);
b) d đi qua điểm M{3 ; -2) và có vectơ chỉ phương = (4 ; 3).
GIẢI
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng
1.(x – 3) + 2.(y – 4) = 0 ⇔ x + 2y – 11 = 0
b) Đường thẳng d, có vectơ chỉ phương = (4 ; 3) nên có vectơ pháp tuyến là = (3 ; -4).
Vậy phương trình tổng quát của d có dạng :
3.(x – 3) – 4.(y + 2) = 0 hay 3x – 4y – 17 = 0
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, biết A(1 ; 4), B(3 ; -1), C(6 ; 2). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác.
GIẢI
Phương trình tổng quát của đường thẳng chứa AH là:
1.(x – 1) + 1.(y – 4) = 0
⇔ x + y – 5 = 0
Ta tính được toạ độ trung điểm M của BC như sau :
Chú ý. Tam giác ABC có đường cao AH trùng với trung tuyến AM nên tam giác ABC cân tại A.
Vấn đề 3
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1. Phương pháp
- Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
ta xét số nghiệm của hệ phương trình sau:
Cụ thể :
Hệ (*) có nghiệm duy nhất : cắt
Hệ (*) vô nghiệm : // .
Hệ (*) có vô số nghiệm : ≡ .
- Góc giữa hai đường thẳng và được tính bởi công thức :
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :
GIẢI
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng và .
a) Tìm giao điểm của và ;
b) Tính góc giữa và .
GIẢI
a) Giao điểm của và là điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy cắt tại điểm (1; 3).
Vấn đề 4
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1. Phương pháp
- Để tính khoảng cách từ điểm $latex M_o(x_o; y_o) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 ta dùng công thức
- Nếu đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 chia mặt Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là Δ, ta luôn có:
- Một nửa phẳng chứa các điểm thỏa mãn
Δ( > 0;
- Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm thỏa mãn
Δ( < 0.
- Cho hai đường thẳng cắt nhau , có phương trình:
Gọi d và d’ là hai đường thẳng chứa đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng và .
Ta có : M(x, y) ∈ d ∪ d’
Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc họp bởi và là :
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3; 5) và Δ: 4x +3y + 1 = 0;
b) B(1; 2) và Δ’: 3x – 4y + 1 = 0.
GIẢI
Ví dụ 2. Cho đường thẳng Δ : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2 ;0).
a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường
thẳng Δ.
b) Tìm điểm O’ đối xứng của O qua A.
c) Tìm điểm M trên Δ sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất.
GIẢI
a) Ta có Δ(A) = 2 – 0 + 2 = 4 > 0
Δ(O) = 0 – 0 + 2 = 2 > 0.
Vậy A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng A.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với Δ(A) tại H. Phương trình
Vì H ∈ d nên toạ độ của H có dạng ().
Mặt khác : H ∈ Δ ⇒ ⇒ .
Vậy H có toạ độ là (-1 ; 1).
Vì H là trung điểm của OO’nên
.
Vậy O’ có toạ độ là (- 2 ; 2).
c) Ta có OM + MA = O’M + MA
Độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất ⇔ O’, M, A thẳng hàng
⇔ O’Acắt A tại M.
Phương trình đường thẳng O’Alà : x + 2y – 2 = 0.
Toạ độ của M(x ; y) là nghiệm của hệ phương trình
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
3.1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d, trong mỗi trường hợp sau :
a) d đi qua điểm A(- 5 ; – 2) và có vectơ chỉ phương = (4 ; – 3);
b) d đi qua hai điểm A (; 1) và B(2 + ;4).
3.2. Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số
a) Tìm điểm M nằm trên A và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng A với đường thẳng x + y + 1 = 0.
c) Tìm điểm M trên Δ sao cho AM ngắn nhất.
3.3. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường họp sau :
a) Δ đi qua điểm M( 1 ; 1) và có vectơ pháp tuyến = (3 ; – 2) ;
b) Δ đi qua điểm A(2 ; – 1) và có hệ số góc k = – 1/2 ;
c) Δ đi qua hai điểm A(2; 0) và 5(0; – 3).
3.4. Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(- 1 ; 0), N(4 ; 1), P(2 ; 4).
3.5. Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
3.6. Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB : x – 3y + 11 = 0, đường cao AH : 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH : 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.
3.7. Cho tam giác ABC có A(- 2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
3.8. Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc :
: mx + y + q = 0 và : x – y + m = 0?
3.9. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây :
3.10. Tìm góc giữa hai đường thẳng :
: x + 2y + 4 = 0 và : 2x – y + 6 = 0.
3.11. Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm 7(1 ; 5) và tiếp xúc vói đường thẳng Δ : 4x – 3ỵ + 1 = 0.
3.12. Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng
: 2x + 4y + 7 = 0 và : x – 2y – 3 = 0.
3.13. Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng :
: 5x + 3y – 3 = 0 và : 5x + 3y + 7 = 0,
3.14. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5 ; 4).
Comments mới nhất