Phương sai và độ lệch chuẩn

Đang tải...

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Độ lệch chuẩn (hoặc phương sai) được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).

Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có cùng số trung bình bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), dãy nào có độ lệch chuẩn (phương sai) càng nhỏ thì mức độ phân tán của các số liệu càng nhỏ, do đó càng có độ đồng đều cao.

Độ lệch chuẩn s và phương sai $x^2$ của dãy số liệu được cho bởi các công thức định nghĩa sau:

Phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai $s^2$ của dãy số liệu là bình phương của độ lệch chuẩn s.

Trong thực hành, nếu tính toán thủ công không dùng máy tính cầm tay thì ta thường sử dụng các công thức trên để tính phương sai trước (biểu thức trong dấu căn) rồi khai căn bậc hai kết quả để tính độ lệch chuẩn. Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay để tính nhanh chóng độ lệch chuẩn, phương sai của dãy số liệu thống kê. Chẳng hạn, nếu sử dụng máy Casio FX-570VN PLUS thì ta làm như sau :

Sau khi nhập các số liệu thống kê (các giá trị và tần số hay tần suất), ta ấn liên tiếp các phím SHIFT, 1 (STAT), 4 (Var), 3 (χσn) = ta được kết quả là s. (Nếu muốn tính $s^2$ ta ấn tiếp phím $x^2$ , = .)

B. BÀI TẬP MẪU

a) Sử dụng các công thức (2), (2′) và (3) để tính phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho trong bảng 1 (Bài tập mẫu, §1).

b) Sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra lại các kết quả tìm được ở câu a).

c) So sánh thành tích chạy 50 m của lớp 10A (cho trong bảng 1) với thành tích chạy 50 m cửa lớp 10D cùng trường, biết rằng bảng số liệu thống kê thành tích chạy của lớp 10D có giá trị trung bình là 7,5 giây và có độ lệch chuẩn là 0,71 giây.

Giải

a) Sử dụng kết quả trong bài tập mẫu §3, ta có $\overline x$ = 7,50(75) ≈ 7,508 (giây).

Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp (bảng 2) và công thức (2) ta có :

Phương sai và độ lệch chuẩn

Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớn (bàng 3) và công thức (2′) ta có:

Phương sai và độ lệch chuẩn

Tính độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,42607894} = 0,65274722$

s ≈ 0,65 (giây).

Phương sai và độ lệch chuẩn

Nhận xét: Nếu làn tròn kết quả ngay từ các phép tính trung gain thì kết quả có thể bị sai lệch. Chẳng hạn, nếu làm tròn $s^2 =0.43$ thì ta sẽ tính được $s = \sqrt{0,43}$ ≈ 0.66.

♦ Chú ý:

Nếu không có máy tính cầm tay và phải tính thủ công thì nên sử dụng công thức (3).

c) Thành tích chạy 50 m của học sinh ở hai lớp có cùng đơn vị đo vắ có số trung bình xấp xỉ nhau, đồng thời ở lớp 10D có độ lệch chuẩn cao hơn :

Phương sai và độ lệch chuẩn

Suy ra : Thành tích chạy 50 rri của học sinh ở hai lớp nhanh như nhau, nhưng thành tích của các học sinh ở lớp 10A đồng đều hơn.

C. BÀI TẬP

5.15.

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam và các học sinh nữ cho ở bảng 5 ;

B) Giả sử trường Trung học phổ thông M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên toán (kí hiệu là nhóm T) có chiều cao trung bình là $\overline x$ =163 cm, có độ lệch chuẩn là s = 13. So sánh chiều cao của ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nhóm nữ, nhóm T).

⇒ Xem đáp án tại đây.

5.16.

Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở các bấng sau

Phương sai và độ lệch chuẩn

a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng 13, bảng 14.

b) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn ?

⇒ Xem đáp án tại đây.

Bài tập trắc nghiệm

5.17

Cho dãy số liệu thống kê (đơn vị là kg):

1, 2, 3, 4, 5. (1)

Dãy (1) có trung bình cộng $\overline x$ = 3 kg và độ lệch chuẩn s = $\sqrt 2$ kg.

Cộng thêm 4 kg vào mỗi số liệu thống kê của dãy (1), ta được dãy số liệu thống ké (đã hiệu chỉnh) sau đây (đơn vị là kg) :

5, 6, 7, 8, 9. (2)

Khi đó ta có : Độ lệch chuẩn của dãy (2) là :

⇒ Xem đáp án tại đây.

Phương sai và độ lệch chuẩn – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Đại số