Phép đối xứng trục bài tập hình học lớp 11
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. ĐỊNH NGHĨA
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d (h.1.5).
Phép đối xứng qua trục d thường được kí hiệu là . Như vậy M’ =
⇔ = , với là hình chiếu vuông góc của M trên d.
Đường thẳng d đượe gọi là trục đối xứng của hình H nếu biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng.
II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d. Vói mỗi điểm M = (x ; ỵ), gọi M’ = (M) = (x’; y’).
III. TÍNH CHẤT
Phép đối xứng trục
1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng ;
3) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho ;
4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho ;
5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Xác định ảnh của một hình qua một phép đối xứng trục
1. Phương pháp giải
Để xác định ảnh H’ của hình H qua phép đối xứng qua đường thẳng d ta có thể dùng các phương pháp sau :
- Dùng định nghĩa của phép đối xứng trục ;
- Dùng biểu thức vectơ của phép đối xứng trục;
- Dùng biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua các trục toạ độ.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD.
Giải
Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác A, B, E qua phép đốị xứng đó. Ảnh phải tìm là tam giác A’B’E‘.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M( 1 ; 5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường tròn (C) có phương trình :
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox
b) Tìm ảnh của M quạ phép đối xứng qua đường thẳng
Giải
a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó M’ = -(1 ;-5).
Để tìm d’ ta sử dụng biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Ox : Gọi điểm N'(x’; ỵ‘) là ảnh của điểm N(x ; y) qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có N ∈ d ⇔ x – 2y + 4 = 0 ⇔ x’ – 2(-y’) + 4 = 0 ⇔ x’ + 2y’ + 4 = 0
⇔ N’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình x + 2ỵ + 4 = 0.
Vậy ảnh của d là đường thẳng d’ có phương trình x + 2ỵ + 4 = 0.
Để tìm (C’), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm I = (1 ; -2), bán kính R = 3. Gọi J’ là ảnh của J qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó J’ = (1 ; 2). Do đó (C’) là đường tròn tâm J’ bán kính bằng 3. Từ đó suy ra (C’) có phương trình .
b) Đường thẳng qua M vuông góc với d có phương trình
Giao của d và là điểm có toạ độ thoả mãn hệ phương trình
Vậy = (2 ; 3). Từ đó suy ra ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d là M” sao cho là trung điểm của MM”, do đó M” = (3 ; 1).
Vấn đề 2
Tìm trục đối xứng của một đa giác
1. Phương pháp giải
Sử dụng tính chất: Nếu một đa giác có trục đối xứng d thì qua phép đối xứng trục d mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác bằng cạnh ấy.
2. Ví dụ
Ví dụ. Um các trục đối xứng của một hình chữ nhật.
Giải
Cho hình chữ nhật ABCD, AB > BC. Gọi F là phép đối xứng qua trục d biến ABCD thành chính nó. Khi đó cạnh AB chỉ có thể biến thành chính nó hoặc biến thành cạnh CD.
Nếu AB biến thành chính nó thì chỉ có thể xảy ra F(A) = B (vì nếu F(A) = A thì F(B) = B suy ra d trùng với đường thẳng AB, điều này vô lí). Khi đó d là đường trung trực của AB.
Nếu AB biến thành CD, thì không thể xảy ra F(A) = C, F(B) = D. Vì nếu thế thì AC // BD, (cùng vuông góc với d) điều đó vô lí. Vậy chỉ có thể F(A) = D, F(B) = c. Khi đó d là đường trung trực của AD.
Vậy hình chữ nhật ABCD có hai trục đối xứng là các đường trung trực của AB và AD.
Vấn đề 3
Dùng phép đối xứng trục để giải một số bài toán dựng hình
1. Phương pháp giải
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép đối xứng trục.
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho hai đường tròn (C), (C’) có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C), (C’) còn hai đỉnh kia nằm trên d.
Giải
Phân tích
Giả sử hình vuông đã dựng được. Ta thấy hai đỉnh B và D của hình vuông ABCD luôn thuộc d nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết đỉnh C.
Xem C là ảnh của A qua phép đối xứng qua trục d. Vì A thuộc đường tròn (C) nẽn c thuộc đường tròn () là ảnh của
(C) qua phép đối xứng qua trục d. Mặt khác C luôn thuộc đường tròn (C’). Vậy c phải là giao của đường tròn () với
đường tròn (C’)
Từ đó suy ra cách dựng.
Cách dựng
a) Dựng đường tròn () là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua trục
b) Từ c thuộc () ∩ (C’) dựng điểm A đối xứng với c qua Gọi I là giao của AC với d.
c) Lấy trên d hai điểm B và D sao cho I là trung điểm của BD và IB = ID = IA. Khi đó hình vuông ABCD là hình cần dựng.
Chứng minh
Dễ thấy ABCD là hình vuông có B và D thuộc d, C thuộc (C’). Ta chỉ cần chứng minh A thuộc (C). Thật vậy vì A đối xứng với C qua d, mà c thuộc (C’) nên A phải thuộc (C) là ảnh của (C’) qua phép đối xứng qua trục d.
Biện luận
Bài toán có một, hai, hay vô nghiệm tuỳ theo số giao điểm của () với (C’)
Vấn đề 4
Dùng phép đổi xứng trục để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm
1. Phương pháp giải
Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép đối xứng trục.
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm o, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
GIẢI
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn (O). Ta có
= (tương ứng vuông góc)
= (cùng chắn một cung).
Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H và H’ đối xứng với nhau qua đường thẳng BC.
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O). Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(3 ; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình : . Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox.
1.7. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x – 5ỵ + 7 = 0 và đường thẳng d’ có phương trình 5x – y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’.
1.8. Tìm các trục đối xứng của hình vuông.
1.9. Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm c trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (không cần biện luận).
1.10. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d nhưng nằm cùng phía đối với d. Tìm trên d điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B là bé nhất.
Comments mới nhất