Phép đối xứng tâm – Bài tập Hình Học lớp 11

Phép đối xứng tâm

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm / thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho / là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là .

Từ định nghĩa suy ta suy ra:

1) M’ = (M) ⇔ = –

Từ đó suy ra :

2) Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm / biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.

II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I = gọi M = và M’= (x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó

III. CÁC TÍNH CHẤT

Phép đối xứng tâm

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;

2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;

3) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho ;

4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho ;

5) Biến một đựờng tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Xác định ảnh của một hình qua một phép đối xứng tâm

1. Phương pháp giải

Dùng định nghĩa, biểu thức toạ độ hoặc tính chất của phép đối xứng tâm.

2. Ví dụ

Ví dụ, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho , điểm I(2 ; -3) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2ỵ – 1 = 0. tìm toạ độ của điểm I’ và phương trình của đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

Giải

I’ = (-2; 3).

Để tìm d’ ta có thể làm theo các cách sau :

Cách 1. Từ biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua gốc toạ độ ta có

Thay biểu thức của x và y vào phương trình của d ta được

3(-x’) + 2(-y’) -1 = 0, hay 3x’ + 2y’ + 1 = 0. Do đó phương trình của d’ là 3x + 2y + 1 = 0.

Cách 2. Vì d’ song song hoặc trùng với d nên phương trình của d’ có dạng 3x + 2y + c = 0. Lấy điểm M(0 ; 1/2) thuộc d, thì ảnh của nó là M’ = (0; -1/2)

Vì M’ thuộc d’ nên -2.1/2 + C = 0. Từ đó suy ra C = 1.

Cách 3. Ta cũng có thể lấy hai điểm M, N thuộc d. Tìm ảnh M’, N’ tương ứng của chúng. Khi đó d’ chính là đường thẳng M’N’

Vấn đề 2

Tìm tâm đối xứng của một hình

1. Phương pháp giải

Nếu hình đã cho là một đa giác thì sử dụng tính chất: Một đa giác có tâm đối xứng I thì qua phép đối xứng tâm I mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác song song và bằng cạnh ấy.

Nếu hình đã cho không phải là một đa giác thì sử dụng định nghĩa.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong phép đối xứng tâm I nếu điểm M biến thành chính nó thì M phải trùng với I.

Giải

Ta có = – ⇒ 2 = => IM = 0 ⇒ M ≡ I

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là một hình bình hành.

Giải

Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I. Qua phép đối xứng tâm I, tứ giác ABCD biến thành chính nó nên đỉnh A chỉ có thể biến thành A,B,C hay D.

• Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì theo ví dụ trên A trùng Khi đó tứ giác có hai đỉnh đối xứng qua đỉnh A. Điều đó vô lí.
• Nếu A biến thành B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc các cạnh AB hoặc AD của tứ giác nên cũng suy ra điều vô lí.

Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C.

Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D. Khi đó tâm đối xứng I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành.

Vấn đề 3

Dùng phép đối xứng tâm để giải một số bài toán hình học.

1. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm.

Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng tâm, hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép đối xứng tâm.

2. Ví dụ

Ví dụ. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó.

a) Hãy tìm một đường thẳng đi qua A và cắt Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN.

b) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng bất kì qua A cắt Ox và Oy lần lượt tại c và D thì ta luôn có diện tích tam giác OCD lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác

Giải

a) Giả sử M, N đã dựng được (h.1.12). Gọi O’ là ảnh của o qua phép đối xứng qua tâm Khi đó tứ giác OMO’N là hình bình hành.

Từ đó suy ra cách dựng :

• Dựng O’ là ảnh của O qua phép đối xứng qua tâm A
• Dựng hình bình hành OMO’N sao cho M, N lần lượt thuộc Ox, Oy. Dễ thấy đường thẳng MN đi  qua A và AM = AN. Do đó đường thẳng MN là đường thẳng cần tìm.

b) Giả sử đường thẳng d bất kì đi qua A cắt 0’M, Ox, Oy lần lượt tại B, c, D (C thuộc tia Mx). Do phép đối xứng qua tâm A biến đường thẳng 0’M thành đường thẳng Oy, nên nó biến B thành D Từ đó suy ra ΔABM = ΔADN.

Do đó diện tích ΔOMN = diện tích tứ giác OMBD ≤ diện tích ΔOCD.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.11. Cho tứ giác ABCE. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm E.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1 ; 2), M(-2 ; 3), đường thẳng d có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C) có phương trình :

Hãy xác định toạ độ của điểm M’ phương trình của đường thẳng d’ và đườn g tròn (C‘) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

a) Phép đối xứng qua gốc toạ độ ;

b) Phép đối xứng qua tâm I.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình : x – 2ỵ + 2 = 0 và d’ có phương trình : x – 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

1.14. Cho ba điểm không thẳng hàng I, J, K. Hãy dựng tam giác ABC nhận I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC.

⇒ Xem đáp án tại đây.