Nguyên hàm – Kiến thức cần nhớ – Bài tập giải tích 12

 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Nguyên hàm và tính chất.

a) Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lí 1

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lí 2

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Xem thêm: Hướng dẫn giải bài tập Nguyên hàm tại đây.

b) Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1

                     ∫f′(x)dx = f(x)+C

Tính chất 2

                     ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx

Tính chất 3

                     ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

c)  Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

d) Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

2. Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp biến đổi số

Định lí 1. Nếu f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

                   ∫f(u(x))(x) = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có ∫f(ax+b)dx = F(ax+b) + C

Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u(u=u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

                    ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

Vì v'(x)dx = dv, u;(x)dx = du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

                     ∫udv=uv−∫vdu  .