Kỹ thuật “điều chỉnh hằng số” khi tính tích phân từng phần

Phương pháp tính tích phân từng phần là một trong hai phương pháp chính để tính tích phân ở trường phổ thông. Nó đặc biệt hữu hiệu (gần như là bắt buộc) khi chúng ta phải xử lý một tích phân mà biểu thức tính tích phân là tổ hợp của các hàm “khác loại” như: lượng giác + mũ, logarit…

(h_(x) là nguyên hàm của g_(x)). C là một hằng số bất kì, thông thường khi giải các em thường bỏ qua và coi như c =0. Tuy nhiên nếu tinh ý hơn, các em điều chỉnh c một cách thích hợp để vdu là một biểu thức đơn giản, có thể rút gọn được thì sẽ có một lời giải đơn giản hơn rất nhiều.

Chúng ta quan sát một số ví dụ sau:

Vậy tại sao lại chọn c =1, các em có thể nhận thấy nếu c=0 thì biểu thức vdu có mẫu số phức tạp là x(x+1) như ở cách làm trước, như vậy nếu các em hãy nghĩ đến việc chọn c sao cho có thể giản ước được một trong hai nhân tử x hoặc x+1. Từ đó bằng một hai phép thử đơn giản ta có thể chọn c =1.

Lời giải đơn giản hơn:

Các em nhận thấy với c=0 thì vdu là một biểu thức phức tạp bậc 3 trên bậc 2. Trong khi đó rõ ràng chỉ nghĩ cách tạo ra tử số của v là x²+1 thì sẽ giản ước được với mẫu số của dv. Để làm điều này ta chỉ cần chọn c = 1/2 là xong. Cụ thể như sau:

Kết luận: Khi sử dụng kỹ thuật tích phân từng phần, các em hãy chậm lại chút để chọn c thích hợp thay vì để c =0