Các dạng toán cơ bản về khối đa diện lồi và khối đa diện đều – Sách bài tập Hình học 12

Các dạng toán cơ bản về khối đa diện lồi và khối đa diện đều – Sách bài tập Hình học 12

Vấn đề 1:

Chứng minh một số tính chất của khối đa diện đều

1. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa khối đa diện đều.

2. Ví dụ

Cho khối bát diện đều ABCDEF (h.1.7). Chứng minh rằng :

a) Các điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng ; các điểm E, C, F, A cùng thuộc một mặt phẳng và các điểm

E, D, F, B cùng thuộc một mặt phẳng ;

b) Chứng minh rằng ba mặt phẳng (ABCD), (ECFA) và (EDFB) đôi một vuông góc với nhau.

Giải

Vì AE = AF = BE – BF = CE = CF = DE = DF nên A, B, c, D thuộc mặt phẳng trung trực của Tương tự các điểm

E, C, F, A thuộc mặt phẳng trung trực của BD ; E, D, F, B thuộc mặt phẳng trung trực của AC.

Mặt phẳng (ECFA) chứa EF và EF 1 (ABCD) (vì (ABCD) là mặt phẳng trung trực của EF nên EF ⊥ (ABCD)).

Do đó (ECFA) ⊥ (ABCD). Tương tự, ta chứng minh được (ABCD)  ⊥ (EDFE) và (EDFB)  ⊥ (ECFA).

Xem thêm: Bài tập khối đa diện lồi và khối đa diện đều  tại đây.

Vấn đề 2:

Xác định một khối đa diện đều

1. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa khối đa diện đều.

2. Ví dụ

Chứng minh rằng trọng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Giải

(h.1.8) Giả sử ABCD là một tứ diện đều có cạnh bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các mặt

(BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Khi đó AB’ và BA’ cắt nhau tại trung điểm M của CD. Và A’B’ =   AB = .

Tương tự các cạnh còn lại của tứ diện A’B’C’D’ cũng bằng , Suy ra A’B’C’D’ là một tứ diện đều.