Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0º đến 180º – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Đang tải...

Giá trị lượng giác của một góc

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Giá trị lượng giác của một góc

1. Định nghĩa : Với mỗi góc a (0° ≤ a ≤ 180°) ta xác định được một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị (h. 2.1) sao cho \widehat{xOM} = a. Giả sử điểm M có toạ độ là M(x_o; y_o ). Khi đó :

  • Tung độ y_o  của điểm M gọi là sin của góc α và được kí hiệu là sinα =y_o .
  • Hoành độ x_o  của điểm M gọi là côsin của góc α và được kí hiệu là cos α = x_o

Giá trị lượng giác của một góc

2. Các hệ thức lượng giác

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

sin α = sin (180° – α)

cos α= -cos (180° – α)

tan α = -tan (180° – α)

cot α = -cot (180° – α).

b) Các hệ thức lượng giác cơ bản

Từ đinh nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức :

Giá trị lượng giác của một góc

4. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \vec{a} \vec{b} đều khác vectơ \vec{0} . Từ một điểm O bất kì ta vẽ \vec{OA} \vec{a} \vec{OB} = \vec{b} . Khi đó góc \widehat{AOB} với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ \vec{a} \vec{b} (h.2.2) và kí hiệu là {\vec{a} , \vec{b} ).

Giá trị lượng giác của một góc

B. DẠNG TOÁN  CƠ BẢN

Vấn đề 1

Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

1. Phương pháp

  • Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y_o  và hoành độ x_o  của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị với góc \widehat{xOM} = α và từ đó ta có các giá tri=ị lượng giác :

Giá trị lượng giác của một góc

  • Dựa vào tính chất : Hai góc bù nhau có sin bằng nhau và có côsin, tang, côtang đối nhau.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho góc α  = 135º. Hãy tính sinα, cosα, tanα và cotα.

GIẢI

Giá trị lượng giác của một góc

Giá trị lượng giác của một góc

Do đó cot 135º = -1.

Ví dụ 2. . Cho tam giác cân ABC có \widehat{B} = \widehat{C} = 15°. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.

GIẢI

Ta có \widehat{A} = 180º – (\widehat{B} \widehat{C} ) = 180º – 30º = 150º.

Vậy sin A = sin (180º – 150º)  = sin 30º = 1/2;

Giá trị lượng giác của một góc

Giá trị lượng giác của một góc

Do đó cotA = –\sqrt 3

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Giá trị lượng giác của một góc

GIẢI

Vì 180º – \widehat{A} \widehat{B} \widehat{C} nên ta có:

a) sin A = sin(180º – A)  sin (B + C);

Giá trị lượng giác của một góc

Vấn đề 2

Cho biết một giá trị lượng giác của góc α, tìm cốc giá trị lượng giác còn lại của α

1. Phương pháp

Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc α và các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị đó như :

Giá trị lượng giác của một góc

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho biết cos α = -2/3, hãy tính sin α và tan α.

GIẢI

Vì cos α < 0 nên 90º < α < 180º. Suy ra sin α > 0 và tan α < 0.

{sin}^2  α + {cos}^2  α = 1 nên thay giá trị cos α = -2/3 vào ta có:

Giá trị lượng giác của một góc

Ví dụ 2. Cho góc α, biết 0º < α < 90º và tan α = 2.

Tính sin α và cos α.

GIẢI

Giá trị lượng giác của một góc

Ví dụ 3. Cho góc α, biết cos α = 3/5. Hãy tính sin α, tan α, cot α.

GIẢI

Giá trị lượng giác của một góc

Ví dụ 4. Cho góc α biết tanα = -2. Tính cos α và sin α.

Vì tan α = -2 < 0 nên 90º < α < 180º, suy ra cos α < 0.

Giá trị lượng giác của một góc

nên

Giá trị lượng giác của một góc

Vậy cos α = -1/\sqrt{5} .

Mặt khác

Giá trị lượng giác của một góc

Nhận xét. Có thể dùng hệ thức sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 để tính sin\alpha như sau:

Giá trị lượng giác của một góc

Vấn đề 3.

Cho biết một giả trị lượng giác của góc a, hãỵ xác định góc a đó

1. Phương pháp

Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc α để dựng góc α và trong một số trường hợp có thể sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để dựng góc α.

Tập sử dụng máy tính bỏ túi để xác định góc α.

2. Các ví dụ.

Cách 1. Trên trục Oy của nửa đường

tròn đơn vị ta lấy điểm I = (0; \frac 35 ) và

qua đó vẽ đường thẳng d song song với trục Ox (h.2.3).

Đường thẳng này cắt nửa đường tròn đơn vị tại hai điểm M và N trong đó \widehat{xOM} là góc tù và \widehat{xON} là góc nhọn. Ta xác định được góc α \widehat{xON} sin\alpha = \frac 35 .

Cách 2. Ta dựng tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3,BC = 5 (h.2.4).

Ta có a = \widehat{ACB} vì sin \widehat{ACB} = \frac{AB}{BC} = \frac 35 .

Cách 3. Dùng máy tính bỏ túi (Casio fx-500MS).

  • Chọn đơn vị đo : Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây :

Giá trị lượng giác của một góc

Ví dụ 2. Xác định  góc α biết rằng cos α = -1/3

Giá trị lượng giác của một góc

Giá trị lượng giác của một góc

Cách 3. Dùng máy tính bỏ túi (Casio fx-500MS)

Tương tự như tính sin α

Vì cos α < 0 nên α là góc tù.

Ấn liên tiếp các phím sau đây :

 

Giá trị lượng giác của một góc

Ta được kết quả là: α ≈ 109°28’16”.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

2.1. Với những giá trị nào của góc α (0° ≤ α ≤180°) thì:

a) sin α và cos α cùng dấu ?

b) sin α và cos α khác dấu ?

c) sin α và tan α cùng dấu ?

d) sin α và tan α khác dấu ?

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.2. Tính giá tri lượng giác của các góc sau đây :

a) 120°;                  b) 150°;                 c)  135°.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.3. Tính giá trị của biểu thức :

a) 2sin 30° + 3cos 45° — sin 60° ;

b) 2cos30° + 3sin 45° – cos 60°.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.4. Rút gọn biểu thức :

Giá trị lượng giác của một góc

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.5.  Hãy tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây:

Giá trị lượng giác của một góc

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.6. Cho sin α = 1/4 với 90º < α < 180º. Tính cos α và tan α.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.7. Cho cos α = –\sqrt 2 / 4 . Tính sin α và tan α.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.8. Cho tan α = 2\sqrt 2 với 0º < α < 90º. Tính sin α và cos α.

⇒ Xem đáp án tại đây.

Giá trị lượng giác của một góc

⇒ Xem đáp án tại đây.

Giá trị lượng giác của một góc

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.11. Chứng minh rằng với 0º ≤ x ≤ 180º ta có:

a) (sin x + cos x)^2 = 1 + 2sin x cos x ;

b) (sin x - cos x)^2 = 1 - 2 sin x cos x ;

c) sin^4 x + cos^4 x = 1 - 2 sin^2 x cos ^2 x .

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.12. Chứng minh rằng biểu thức đây không phụ thuộc vào α:

a) A = (sin \alpha + cos \alpha)^2 + (sin \alpha - cos \alpha)^2 ;

b) B = sin^4 \alpha - cos^4 \alpha - 2 sin^2 \alpha + 1 .

⇒ Xem đáp án tại đây.

Đang tải...

Bài mới

loading...

Bình luận