Đề thi tuyển sinh Toán 10 Chuyên trường phổ thông năng khiếu 2010 -2011

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Năm học 2010-2011

Thời gian: 150 phút

Bài 1:

a)  Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện: a + b + c = + +   = 0.

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0.

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 2:

b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức: 2 ≤ BC ≤ (AB + AC – ) . 

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 3:

a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 4:

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC cố định có độ dài BC = R. A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB. Các dường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K ≠ A) 

a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định.

b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo R.

c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định.

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 5:

Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận).

a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.

b) Khẳng định trên còn đúng không nếu mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận?

>>Xem đáp án tại đây.