Đề thi tuyển sinh lớp 10 Toán chuyên trường Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2010-2011(đề chuyên)

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Năm học 2010-2011 (đề chuyên)

Thời gian: 150 phút

Bài 1:

a) Cho a, b là các số dương khác nhau thỏa mãn:

a – b = – . Chứng minh: +   = 1.

b) Chứng minh  ∈ N*

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 2 : 

a, b, c d là bốn số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i)   – cx – 5d = 0 có hại nghiệm a, b.

ii)  – ax – 5b = 0 có hai nghiệm c, d.

Chứng minh a – c = c – b = d –  a và a + b + c + d = 30.

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 3 : 

m, n là các số nguyên dương với n > 1. Đặt S =  latex n^2 $ – 4m + 4n. Chứng minh:

a) Nếu m > n thì < $ S < $

b) Nếu S chính phương thì m = n.

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 4:

Cho tam giác ABC có AB > AC, AB > BC. Trên cạnh AB lấy M và N dể BC = BM và AC = AN.

a) Chứng minh rằng N nằm trong đoạn BM.

b) Qua M, N kẻ MP // BC, NQ // CA. Chứng minh  CP =  CQ           

c) Cho ACB = 90°, CAB = 30°, AB = a. Tính diện tích tam giác MCN theo a.

>>Xem đáp án tại đây. 

Bài 5: Trên bảng viết 3 số , 2, 1/  . Ta bắt đầu

thực hiện trò chơi sau: Tại mỗi bước, chọn hai số trên bảng, chẳng hạn a, b;

xóa chúng và thay vào hai số (a +b) /, I a – bI /    Chứng minh rằng dù chơi bao nhiêu lần cũng  không thể có đồng thời ba số , 2, 1/   trên  bảng.

>>Xem đáp án tại đây .