Dấu của tam thức bậc hai

Đang tải...

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Đồ thị hàm số f(x) = a $x^2$ + bx + c (a≠0) và dấu của f(x)

Dấu của tam thức bậc hai

2. Một số điều kiện tương đương

Nếu a $x^2$ + bx + c là một tam thức bậc hai (a ≠ 0) thì

1) a $x^2$ + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ = $b^2$ – 4ac ≥ 0;

2) a $x^2$ + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi c/a < 0;

Dấu của tam thức bậc hai

B. BÀI TẬP MẪU

Bài 1

Dấu của tam thức bậc hai

Giải

Tam thức $x^2$ – 9x + 14 có hai nghiệm phân biệt $x_1$ = 2, $x_2$ = 7.

Tam thức $x^2$ + 9x + 14 có hai nghiệm phân biệt $x_3$ = -7, $x_4$ = -2.

Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình (1)

Dấu của tam thức bậc hai

Từ bảng trên suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là

(-∞; -7) ∪ (-2; 2] ∪ [7; +∞).

Bài 2

Xét phương trình m $x^2$ – 2(m – 1)x + 4m – 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có

a) Hai nghiệm phân biệt;

b) Hai nghiệm trái dấu;

c) Các nghiệm tương đương

d) Các nghiệm âm

Giải

Xét Δ’ = $(m - 1)^2$ – m(4m – 1)

= -3 $m^2$ – m + 1 (nếu m ≠ 0).

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ’ > 0

Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3

Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

m $x^2$ – 4(m – 1)x + x – 5 ≤ 0.

Giải

a) Nếu m = 0 thì bất phương trình trở thành 4x – 5 ≤ 0, bất phương trình chỉ nghiệm đúng với x ≤ 5/4.

b) Nếu m ≠ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

Dấu của tam thức bậc hai

Không có giá trị nào của m thỏa mãn (*).

Kết luận: Không có giá trị nào của m để bất phương trình nghiệm đúng của mọi x.

C. BÀI TẬP

4.51. Xét dấu các tam thức bậc hai sau.

a) 2 $x^2$ + 5x + 2	b) 4 $x^2$ – 3x – 1
c) -3 $x^2$ + 5x + 1	d) 3 $x^2$ + x + 5

⇒ Xem đáp án tại đây.

Giải các bất phương trình sau:

4.52.

a) $x^2$ – 2x + 3

b) $x^2$ + 9 > 6x

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.53.

a) 6 $x^2$ – x – 2 ≥ 0;

b) $\frac13 x^2$ +3x + 6 < 0

⇒ Xem đáp án tại đây.

Dấu của tam thức bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

Dấu của tam thức bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

Dấu của tam thức bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

Dấu của tam thức bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau

4.58.

a) 2 $m^2$ – m – 5 > 0

b) – $m^2$ + m + 9 > 0

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.59

a) $(2m - 1)^2$ – 4(m + 1)(m – 2) ≥ 0

b) $m^2$ – (2m – 1)(m + 1) < 0

⇒ Xem đáp án tại đây.

Dấu của tam thức bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.62. Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau đó có dấu không đổi (không phục thuộc vào x).

a) f(x) = 2 $x^2$ – (m + 2)x + $m^2$ – m – 1.

b) f(x) = ( $m^2$ – m- 1) $x^2$ – (2m – 1)x + 1.

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.63. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

a) ( $m^2$ – 1) $x^2$ + (m + 3)x + ( $m^2$ + m) = 0;

b) $x^2$ – ( $m^3$ + m – 2)x + $m^2$ + m – 5 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.64. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt.

a) $x^2$ – 2x + $m^2$ + m + 3 = 0;

b) ( $m^2$ + m + 3) $x^2$ + (4 $m^2$ + m + 2)x + m = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.65. Với giá trị nào của tham số m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0?

Dấu của tam thức bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x (các bài tập 4.66, 4,67)

4.66. 5 $x^2$ – x + m > 0;

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.67. m(m + 2) $x^2$ + 2mx + 2 > 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

4. 68. Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:

5 $x^2$ – x + m ≤ 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.69. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

( $m^2$ + m + 1) $x^2$ + (2m – 3) + m – 5 = 0.

⇒Xem đáp án tại đây.

Bài tập trắc nghiệm

Dấu của tam thức bậc hai

4.70. Đồ thị hàm số y = f(x) = $x^2$ – 4x + 3 được cho trong hình 46. Từ hình vẽ này hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình $x^2$ – 4x + 3 > 0

A. x < 1

B. x ≥ 1

C. 1 < x < 3

D. (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

⇒ Xem đáp án tại đây.

4.71. Đồ thị hàm số y = f(x) = a $x^2$ + bx + c được cho trong hình bình 47. Kí hiệu Δ = $b^2$ – 4ac là biệt số của f(x). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Dấu của tam thức bậc hai