Đáp án Bài 5 đề tuyển sinh lớp Toán THPT Chuyên Huế 2009-2010. 

Đáp án bài 5 lớp Toán năm 2009 – 2010 Chuyên Huế.

Bài 5 : 

Xét MNPQ là hình vuông ngoại tiếp tứ giác ABCD. Gọi A’ là hình chiếu của A lên PQ, B’ là hình chiếu của B lên MQ. Từ B kẻ đường vuông góc với AC cắt MQ tại E.

Ta chứng tỏ: BE = AC.

Nếu E trùng B’ thì A’ trùng C. Lúc đó: BE = BB’ = AA’ = AC.

Nếu E khác B’ thì xét hai tam giác vuông BB’E và AA’C. Chúng có: BB’ = AA’ và góc B’BE = góc A’AC nên ΔBB’E = Δ AA’C. Suy ra: BE = AC.

Xét hai hình vuông M1N1P1Q1 và M2N2P2Q2 cùng ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Từ B kẻ đường vuông góc với AC cắt M1Q1 tại E1 và cắt M2Q2 tại E₂. Theo chứng minh trên: BE1 = AC và BE2 = AC. Suy ra E1 và E₂ trùng nhau tại D.

Vì vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc nhau.

Cuối cùng, cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc nhau. Dựng đường thẳng (d) tùy ý sao cho tứ giác ABCD và (d) chỉ có một điểm chung là A. Qua C dựng đường thẳng song song với (d). Qua B và D dựng các đường thẳng vuông góc với (d). Ta có hình chữ nhật MNPQ ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Gọi A’ là hình chiếu của A lên PQ, B’ là hình chiếu của B lên MQ. Từ tính chất “hai đường chéo AC, BD bằng nhau và vuông góc nhau”, suy ra AA’ = BB’ (chứng minh như phần đầu). Do đó, hình chữ nhật MNPQ là hình vuông.

Vì vậy, có vô số hình vuông ngoại tiếp tứ giác ABCD.