Đáp án bài 5 Toán năm 2007 – 2008 Chuyên Tin THPT Huế.
Bài 5 :
Đặt: a = x + y – z, b = y + z – x, c = z + x – y. Trong ba số a, b, c bao giờ cũng có ít nhất hai số cùng dấu, chẳng hạn: a . b ≥ 0.
Lúc này: |x + y – z| + |y + x-z| = |a| + |b| = |a + b| = 2IyI
Ta có: x + y + z = a + b + c ; 2x = a + c ; 2z = b + c. Do đó để chứng minh BPT ban đầu đúng thì chỉ cần chứng tỏ:
|c| + |a + b + c| > |a + c| + |b + c| (1) đúng với a . b ≥ 0.
Ta có: (1) <=> |c|.|a + b + c| + ab ≥ |a + c| . |b + c|
<=> Ica + cb + I + ab ≥ I(ca + cb + ) + abI (2)
Đặt: ca + cb + = A; ab = B, ta có B = |b| (do a.b ≥ 0) Ta có: (2) <=> |A| + |B| ≥ |A + B|
<=> |A|.|B| ≥ AB <=> |AB| ≥ AB
Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp các số: a, b, c, a + b + c chia làm 2 cặp cùng dấu.
Ví dụ: ab ≥ 0 và c(a + b + c) ≥ 0.
Lưu ý: Có thể chia ra các trường hợp tùy theo dấu của a, b, c (có trường hợp) để chứng minh BPT đã cho.
Comments mới nhất