Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1.
a. M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥ BC
⇒ △AMO vuông tại M
Gọi K là trung điểm của OA
⇒ KM = KA = KO (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) (1)
OA ⊥ EF tại I ⇒ I là trung điểm của EF (tính chất đường kính – dây cung)
⇒ AI là đường phân giác của góc EOF
⇒ △AEO = △AFO (c.g.c) ⇒ KE = KF (2)
Từ (1) và (2) suy ra điểm K cách đều 5 điểm O, M, E, A, F nên 5 điểm đó nằm trên đường tròn tâm K, đường kính OA.
b. 4 điểm A, E, O, F cùng thuộc đường tròn (K) đường kính OA nên:
⇒ AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2.
Theo đề bài:
NB, NC là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm N nên ON là đường phân giác của tam giác BNC cân tại N.
⇒ ON ⊥ BC tại trung điểm I của BC.
Xét tam giác OCN vuông tại C, đường cao CI, ta có hệ thức:
Bài 3.
△OHA vuông tại H
Tương tự:
Suy ra chu vi △ABC:
Bài 4.
a. Tứ giác OAIB có:
Suy ra tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn đường kính OI.
b. △IOO’ vuông tại I có IA là đường cao nên:
Mặt khác:
Diện tích tam giác IOO’ là:
c. Ta có:
Bài 5.
a.
⇒ Tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn đường kính SO.
⇒ Tứ giác EIHS nội tiếp đường tròn đường kính ES.
b. Chứng minh EM ⊥ OM
Khi đó △EMO vuông tại M, đường cao MI có: OI.OE= .
c. MN = R
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho △MIO vuông tại I:
△EMO vuông tại M có đường cao MI nên:
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho △SIO vuông tại I:
Diện tích △EMS bằng:
Bài 6.
a. △ABE đồng dạng △BSM (g.g)
⇒ AB.MB = AE.BS (đpcm)
b. Từ câu a ta có:
Mà MB = EM (do tam giác BEC vuông tại E có M là trung điểm của BC)
Nên:
Bài 7.
Ta có: OA ⊥ MA (Vì MA là tiếp tuyến với đường tròn (O) )
BH ⊥ MA (Vì BH là đường cao trong △MAB)
⇒ OA // BH (1)
Tương tự ta có:
OB ⊥ MB và AH ⊥ MB
⇒ OB // AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHBO là hình bình hành
Mặt khác lại có: OA = OB nên tứ giác AHBO là hình thoi.
b. Dễ thấy MO là đường phân giác trong của
Vì tam giác OAM vuông tại A nên ta có:
Bài 8.
a. MA, MB là hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm nên OM ⊥ AB tại K là trung điểm của AB.
△OIK đồng dạng △OMH (g.g) vì:
b. O cố định, đường thẳng d cố định nên H cố định.
Theo chứng minh trên, ta có:
Vậy AB đi qua I cố định.
Bài 9.
Xét đường tròn (O) nội tiếp △ABC vuông tại A.
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn (O) với các cạnh AB, AC, BC.
Tứ giác AMON là hình vuông nên:
Bài 10.
EA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc EAO bằng
Tứ giác APMQ có:
⇒ I là trung điểm của AM.
Vì EA, EM là hai tiếp tuyến nên EO phải đi qua I.
Vậy ba điểm E, I, O thẳng hàng.
Bài 11.
a.
Tứ giác ACDO có:
b. CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
OA = OD = R ⇒ OC ⊥ AD và AH = HD
Tam giác ACO vuông ở A, AH ⊥ OC nên
Comments mới nhất