Đáp án bài tập vận dụng Các bài toán về hai tiếp tuyến cắt nhau – Đường tròn – Ôn thi vào lớp 10 – Hình học

Đang tải...

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 1.

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

a. M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥ BC

⇒ △AMO vuông tại M

Gọi K là trung điểm của OA

⇒ KM = KA = KO (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) (1)

OA ⊥ EF tại I ⇒ I là trung điểm của EF (tính chất đường kính – dây cung)

⇒ AI là đường phân giác của góc EOF

⇒ △AEO = △AFO (c.g.c) ⇒ KE = KF                                                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểm K cách đều 5 điểm O, M, E, A, F nên 5 điểm đó nằm trên đường tròn tâm K, đường kính OA.

b. 4 điểm A, E, O, F cùng thuộc đường tròn (K) đường kính OA nên:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 2.

Theo đề bài:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

NB, NC là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm N nên ON là đường phân giác của tam giác BNC cân tại N.

⇒ ON ⊥ BC tại trung điểm I của BC.

Xét tam giác OCN vuông tại C, đường cao CI, ta có hệ thức:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 3. 

△OHA vuông tại H

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Tương tự:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Suy ra chu vi △ABC:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 4. 

a. Tứ giác OAIB có:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Suy ra tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn đường kính OI.

b. △IOO’ vuông tại I có IA là đường cao nên:

OI^2 = OA.OO'

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Mặt khác:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Diện tích tam giác IOO’ là:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

c. Ta có: 

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 5.

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

a.

 Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ Tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn đường kính SO.

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ Tứ giác EIHS nội tiếp đường tròn đường kính ES.

b. Chứng minh EM ⊥ OM

Khi đó △EMO vuông tại M, đường cao MI có: OI.OE= AM^2 = R^2 .

c. MN = R\sqrt {3}  

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho △MIO vuông tại I:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

△EMO vuông tại M có đường cao MI nên:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho △SIO vuông tại I:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Diện tích △EMS bằng:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 6. 

a. △ABE đồng dạng △BSM (g.g)

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ AB.MB = AE.BS (đpcm)

b. Từ câu a ta có:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Mà MB = EM (do tam giác BEC vuông tại E có M là trung điểm của BC)

Nên:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 7. 

Ta có: OA ⊥ MA (Vì MA là tiếp tuyến với đường tròn (O) )

BH ⊥ MA (Vì BH là đường cao trong △MAB)

⇒ OA // BH                     (1)

Tương tự ta có:

OB ⊥ MB và AH ⊥ MB 

⇒ OB // AH                     (2)

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHBO là hình bình hành

Mặt khác lại có: OA = OB nên tứ giác AHBO là hình thoi.

b. Dễ thấy MO là đường phân giác trong của 

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Vì tam giác OAM vuông tại A nên ta có: 

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 8. 

a. MA, MB là hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm nên OM ⊥ AB tại K là trung điểm của AB.

△OIK đồng dạng △OMH (g.g) vì:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

b. O cố định, đường thẳng d cố định nên H cố định.

Theo chứng minh trên, ta có:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Vậy AB đi qua I cố định.

Bài 9. 

Xét đường tròn (O) nội tiếp △ABC vuông tại A.

Gọi M, N, P lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn (O) với các cạnh AB, AC, BC.

Tứ giác AMON là hình vuông nên:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 10. 

EA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc EAO bằng 90^0

Tứ giác APMQ có:

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ I là trung điểm của AM.

Vì EA, EM là hai tiếp tuyến nên EO phải đi qua I.

Vậy ba điểm E, I, O thẳng hàng.

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 11. 

a. 

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Tứ giác ACDO có: 

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

b. CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

OA = OD = R ⇒ OC ⊥ AD và AH = HD

Tam giác ACO vuông ở A, AH ⊥ OC nên

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Đáp án bài toán hai tiếp tuyến cắt nhau

Đang tải...

Bài mới

loading...

Bình luận