Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4. Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
II. CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHANG
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết:
1. Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng ;
2. Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó ;
3. Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Kí hiệu
- (ABC) biểu thị mặt phẳng xác định bởi ba điểm phân biệt không thẳng hàng AB, C(h.2.1).
- (M, d) biểu thị mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d và điểm M không nằm trên d (h.2.2).
- (
) biểu thị mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau
III. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
1. Hình chóp
Trong mặt phẳng (α) cho đa giác lồi 
2. Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD (h.2.4). Ta có S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên :
(SAC) ∩ (SBD) = SO
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
Ví dụ 2. Cho s là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). .
Giải
Gọi I là giao điểm AD và BC (h.2.5).
Ta có s Và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên
(SAD) ∩ (SBC) = SI.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI.
Vấn đề 2
Tìm giao điểm của đưòng thẳng d vồ mặt phẳng (α)
1. Phương pháp giải
Trường hợp 1. Trong (α) có sẵn đường thẳng d’ cắt d tại I.
Ta có ngay d ∩ (α) = I.
Trường hợp 2. Trong (α) không có sẵn d’ cắt d. Khi đó ta thực hiện như sau :
- Chọn mặt phẳng phụ (β) chứa d và (β) cắt (α) theo giao tuyến d\
- Gọi I = d’ ∩ d
- Ta có d n (a) = I.
2. Ví dụ
Giải
nên IJ kéo dài sẽ cắt BD, gọi giao điểm là K(h.2.6). Ta có
K = IJ ∩ (BCD)
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, BC và CD sao cho
Giải
Gọi E là giao điểm của JK và BD, F là giao điểm của AD và IE (h.2.7).
Ta có F = AD ∩ (IJK).
Vấn đề 3
Chứng minh ba điểm thẳng hàng
1. Phương pháp giải
Nếu phải chứng minh ba điểm nào đó thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
2. Ví dụ
Ví dụ: Cho ba điểm A, B, c không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, p. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Giải
Ta có M, N, P lần lượt thuộc về hai mặt phẳng (Q) và (ABC) nên M, N, P thuộc giao tuyến d của (Q) và (ABC) (h.2.8). Vậy M, N, P thẳng hàng.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
2.1. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD.
a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC).
2.2. Cho hình chóp ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :
a) (SBM) và (SCD);
b) (ẠBM) và (,SCD);
c) (ẠBM) và (SAC).
2.3. Cho tứ diện Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm I, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC).
a) Hãy xác định điểm
b) Tìm giao tuyến của mạt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện.
2.4. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và Lấy điểm K thuộc đoạn BD(K không là trung điểm của BD). Tim giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).
2.5. Cho hình chóp ABCD. Lấy M, N và p lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.
2.6. Cho hình chóp ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
2.7. Cho tứ diện Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K.
Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
2.8. Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến Trong (α) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (α) và (β) sao cho OA và OB lần lượt cắt (β) tại A’ và B.
a) Chứng minh ba điểm I, A’,B’ thẳng hàng.
b) Trong (α) lấy điểm C sao cho A,B,C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
2.9. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q.
a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng.
b) Giả sử AN ∩ DM = K, BQ ∩ EP = L Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng.
Comments mới nhất