Cực trị của hàm số – Kiến thức cần nhớ – Bài tập giải tích 12

 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 1. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) , ( có thể  a là -∞, b là +∞ ) và điểm x₀ ∈ (a ; b).

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ – h ; x₀ + h), x   x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho:

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f (0) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h ; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x₀}, với h > 0.

• Nếu f'(x)>0 trên khoảng(x₀ – h ; x₀ + h) và f'(x) < 0 trên khoảng

((x₀ – h ; x₀ + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

• Nếu f'(x)<0 trên khoảng (x₀ – h ; x₀ + h)và f'(x0)>0 trên   khoảng

(x₀ – h ; x₀ + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Xem thêm: Bài tập cực trị của hàm số tại đây.

3. Quy tắc tìm cực trị

♥ Áp dụng Định lí 1, ta có quy tắc tìm các điểm cực trị của một hàm số sau:

Quy tắc I:

– Tìm tập xác định.

– Tính f(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

♥ Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

(x₀ – h ; x₀ + h), với h> 0. Khi đó:

– Nếu f(xo) = 0, f”(x_o)) > 0 thì x_o là điểm cực tiểu;

– Nếu f'(x₀) — 0, f”(x₀) < 0 thì x_o là điểm cực đại.

Áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc tìm các điểm cực trị của một hàm số:

Quy tắc II:

– Tìm tập xác định.

– Tính f(x). Giải phương trình f'(x) = O và  kí hiệu xi (i = 1, 2là các nghiệm của nó.

-Tính f”(x) và f”(xi).

– Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm  xi.