Các quan hệ lượng giác trong tam giác và giải tam giác – Hình học lớp 10

Đang tải...

Các quan hệ lượng giác trong tam giác và giải tam giác.

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đường cao AH = $h_a$ và các đường trung tuyến AM = $m_a$ , BN = $m_b$ , CP = $m_c$ (h.2.14)

1. Định lí côsin

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos B$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$ .

Hệ quả

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

2. Định lí sin

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

4. Các công thức tính diện tích tam giác

Diện tích S tam giác ABC với các cạnh a, b, c được tính theo công thức:

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số ỵếu tố cho trước (trong đó có ít nhất là một cạnh)

1. Phương pháp

Sử dụng trực tiếp định lí côsin và định lí sin.
Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để việc giải toán thuận lợi hơn.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c với b = 7 cm, c = 5 cm và cos A = 3/5.

a) Tính a, sin A và diện tích S của tam giác ABC.

b) Tính đường cao $h_a$ xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

GIẢI

a) Theo định lí côsin ta có

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c, biết $\widehat {A}$ = 60°, b = 8 cm, c = 5 cm. Tính đường cao $h_a$ và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

GIẢI

Theo đinh lí côsin ta có :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$

$= 8^2 + 5^2 - 2.8.5. cos 60^o = 49$ .

Vậy a = 7(cm).

Theo công thức tính diện tích tam giác S = $\frac 12$ bc sin A, ta có:

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 3. Tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

a) Tính $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$ ;

b) Tính góc A.

GIẢI

a) Ta có $\overrightarrow{BC^2}$ = ( $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})^2$ = $\overrightarrow{AC^2}$ + $\overrightarrow{AB^2}$ – 2 $\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{AB}$ .

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 21 cm,b = 17cm,c = 10 cm.

a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao $h_a$ .

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$ phát xuất từ đỉnh A của tam giác.

GIẢI

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c biết a = $\sqrt{6}$ cm, b = 2 cm. c = (1 + $\sqrt{3}$ ) cm. Tính các góc A, B, chiều cao $h_a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC.

GIẢI

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Vấn đề 2

Chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các ỵếu tố của một tam giác

1. Phương pháp

Dùng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh cả hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó, hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức đã biết là đúng. Khi chứng minh cần khai thác các giả thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian cho quá trình biến đổi.

2. Các ví dụ

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi a = BC, b = CA,

c = AB. Chứng minh rằng :

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

GIẢI

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 2: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng mình rằng:

a = b cos C + c cos B.

GIẢI

Theo định lí côsin ta có $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos B$

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 3. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng:

a) $a^2 = 2(b^2 - c^2)$ .

b) $sin^2 A = 2(sin^2 B - sin^2 C)$ .

GIẢI

(Xem h.2.16)

a) Theo định lí về trung tuyến của tam giác ta có:

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A có các cạnh góc vuông là b và c. Lấy một điểm M trên cạnh BC và cho $latex \widehat{BAM} = α. Chứng minh rằng :

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Vấn đề 3

Giải tam giác

1. Phương pháp

Một tam giác thường được xác định khi biết ba yếu tố. Trong các bài toán giải tam giác, người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau :

Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g, c, g);
Biết một góc và hai cạnh kề góc đó (c, g, c);
Biết ba cạnh (c, c, c).

Để tìm các yếu tố còn lại của tam giác người ta thường sử dụng các định lí côsin, định lí sin, định lí tổng ba góc của một tam giác bằng 180° và đặc biệt có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC có các cạnh a, b, c, biết ó = 14, c = 10, $\widehat{A}$ = 145° .

GIẢI

Ta có $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A = 14^2 + 10^2 - 2.14.10.cos 145^o$

≈ 196 + 100 – 280. (-0,8191) ≈ 525,35.

Vậy a ≈ 23.

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết các cạnh a = 4, b = 5, c = 7.

GIẢI

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

2.29. Tam giác ABC có các cạnh a = 2 $\sqrt{3}$ , b = 2 và $\widehat{C}$ = 30°.

a) Tính cạnh c,góc A và diện tích s của tam giác ABC ;

b) Tính chiều cao $h_a$ và đường trung tuyến $m_a$ của tam giác ABC;

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.30. Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết các cạnh a = $latex , b – 4, c = 6. Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.31. Tam giác ABC có các cạnh a= 2 $\sqrt 3$ , b = 2 $\sqrt 2$ , c = $\sqrt 6$ – $\sqrt 2$ . Tính các góc A, B và các độ dài $h_a$ ,R,r của tam giác đó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.32. Tam giác ABC có các cạnh a = 4 $\sqrt 7$ cm, b = 6 cm, c = 8 Tính diện tích S, đường cao $h_a$ và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.33. Gọi $m_a, m_b, m_c$ là các trung tuyến lần lượt ứng vói các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

a) Tính $m_a$ , biết rằng a = 26, b = 18, c = 16.

b) Chứng minh rằng : $4(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2)$

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.34. Tam giác ABC có các cạnh thoả mãn điều kiện b + c = 2a. Chứng minh rằng :

a) 2 sin A = sin B + sin C.

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.35. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức :

a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B ;

b) $h_a$ = 2R sin B. sin C.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.36. Tam giác ABC có các cạnh thoả mãn điều kiện bc = $a^2$ . Chứng minh rằng :

a) $sin^2 A = sin B. sin C$ .

b) $h_b.h_c = h_a^2$ .

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.37. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.38. Cho hình tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y và góc tạo bởi AC và BD là a. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh rằng S = $\frac 12$ x.y.sin α ;

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC vuông góc với BD.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.39. Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng hình bình hành ABDC’. Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tam giác ACC’ có diện tích bằng nhau.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.40. Cho tam giác ABC biết cạnh c = 35cm, $\widehat{A}$ = 40°, $\widehat{C}$ = 120°. Tính các cạnh a,b và $\widehat{B}$ .

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.41. Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 7cm, b = 23 cm, $\widehat{C}$ = 130°. Tính cạnh c, $\widehat{A}$ , và $\widehat{B}$ .

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.42. Cho tam giác ABC biết a = 14 cm, b = 18 cm, c = 20 Tính $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ , $\widehat{C}$ .

⇒ Xem đáp án tại đây.

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

2.43. Giả sử chúng ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB = 30 m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta đo được các góc $\widehat{CAD}$ = 43°,

$\widehat{CBD}$ = 67° (h.2.18). Hãy tính chiều cao CD của tháp.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.44. Khoảng cách từ A đến c không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên

người ta làm như sau : Xác đinh một điểm B có khoảng cách AB = 12 m và đo được góc ACB = 31° (h.2.19). Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 5 m.

Các quan hệ lượng giác trong tam giác

⇒ Xem đáp án tại đây.

Các quan hệ lượng giác trong tam giác và giải tam giác – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học