Các dạng toán nâng cao lớp 7

Đang tải...

DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99

            Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:

            B = 1 + (2 + 3 + 4 + … + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + … + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950

            Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.

    Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:

            Cách 2:

Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + … + 997 + 999

Lời giải:

            Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + … + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)

            Cách 2: Ta thấy:

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.

    Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + … + 994 + 996 + 998

            Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:

            Ta thấy:

Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + …+ 98,99 + 99,10

Lời giải

    Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có:

Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.

Lời giải

    Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:

đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004.

            Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + … + 6010

Nhận xét:

    Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.

 

 

DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Lời giải

    Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:

            Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 – 0.1.2

                 a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 – 1.2.3

                  a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 – 2.3.4                

                …………………..

      an-1 = (n – 1)n 3an-1 =3(n – 1)n 3an-1 = (n – 1)n(n + 1) – (n – 2)(n – 1)n 

               an = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

    Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

                  3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)

Cách 2: Ta có

* Tổng quát hoá ta có:

    k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

            Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

    k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) – (k – 1)] = 3k(k + 1)

Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n – 1)n(n + 1)

Lời giải

Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:

4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n – 1)n(n + 1).4

            = 1.2.3.4 – 0.1.2.3 + 2.3.4.5  – 1.2.3.4 + … + (n – 1)n(n + 1)(n + 2) –

[(n – 2)(n – 1)n(n + 1)] = (n – 1)n(n + 1)(n + 2) – 0.1.2.3 = (n – 1)n(n + 1)(n + 2)

Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)

Lời giải

Tải xuống trọn bộ toán nâng 7 tại đây.

Đang tải...

Related Posts

loading...

Bình luận